如何通俗易懂的理解「排列」和「组合」?

排列和组合是我们在高中时学习的数学知识，是概率论的基础知识之一。我因为对概念理解不深，导致经常忘记，遂整理此文记录。

1. 排列

排列Permutation是从 n 个不同元素中取出 r 个元素排成的一个序列。这个序列所有可能的情况的个数称为「排列数」。

注：有时「排列」也会用Arrangement表示，记为A。

公式如下：

$$ P^r_n = \frac{n!}{(n-r)!} $$

举个例子：
我们有一个不透明的小桶，桶里有编号为 1，2，3，4，5 的 5 个相同的乒乓球，我现在要从中随机取出 3 个进行排列。
当我取第一个小球时，它有 5 种可能的情况，取第二个小球时，就只有 4 种了，第三个小球还有 3 种。那么总共就有 5 * 4 * 3 = 60 种可能的情况。

2. 组合

组合Combination是从 n 个不同元素中取出 r 个元素组成的一个组合。这个组合所有可能的情况的个数称为「组合数」。

公式如下：

$$ C^r_n = \frac{P^r_n}{r!} = \frac{n!}{(n-r)! * r!} $$

还是上面的例子，目前桶里还是编号为 1，2，3，4，5 的 5 个相同的乒乓球，这次我们不把随机取出 3 个进行排列了，而把它们丢进另外一个小桶里。
这里和排列最大的不同是，小球在另外一个小桶里是没有顺序的，假设我们记第一次取 a 第二次 取 b 第三次取 c 为 [a, b, c]，这里的 [1, 2, 4] 和 [2, 1, 4] 是完全一样的。因为我们要用刚刚所有可能的情况 60 除以 3 个小球的顺序存在的情况 3 * 2 * 1 = 6，本次取球的所有情况为 60 / 6 = 10 种。

3. 对比

不知道你有没有发现，排列和组合最主要的差别在于：

排列计较次序而组合不计较。

那么就有一个不严谨的公式供你参考：排列 = 组合 * 次序

4. 参考

• 5分钟彻底了解排列组合
• 《概率论与数理统计》陈希孺